Плоские монохроматические волны в жидкости.

Систему уравнений (11) - (14) нам и необходимо решить для того, чтобы рассмотреть магнитогидродинамические волны. Естественно решать мы ее будем в упрощенном виде, а именно рассматривая плоские монохроматические волны.

$$\delta \rho(\vec{r},t) = \rho e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}} \delta \vec{H}(\vec{r},t) = \vec{h} e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}} \delta \vec{v}(\vec{r},t) = \vec{v} e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}}$$ (15)

Здесь, $\rho, \vec{h}, \vec{v}$ - постоянные величины , являющиеся амплитудами соответствующих колебаний. Теперь, учитывая то, что

$$rot(\vec{A} b)=b rot \vec{A} + \vec{A} \times grad b div(\vec{A} b)=b div \vec{A} + (\vec{A} grad b)$$ (16)

$$grad (e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}})=i \vec{k} e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}} \frac{\partial}{\partial t} e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}} = -i \omega e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}}$$ (17)

и подстановку (15) система уравнений  (11) - (14), соотвественно,преобразуется в линейную систему для амплитуд волн плотности, магнитного поля и скорости:

$$-\omega \rho+\rho_0 (\vec{k},\vec{v})=0$$ (18)

$$-\omega \vec{v}=-\frac{u_0^2}{\rho_0} \rho \vec{k} -\frac{1}{4 \pi \rho_0} \vec{H}_0\times(\vec{k}\times \vec{h})$$ (19)

$$(\vec{k} \vec{h})=0$$ (20)

$$-\omega \vec{h}=\vec{k}\times(\vec{v}\times\vec{H}_0)$$ (21)

Наконец, подставляя $\rho$ из  (18) в уравнение (19), а также учтя то, что уравнение  (20) есть следствие уравнения (21) (из (21) следует, что $\vec{h}$ ортогонально $\vec{k}$, а следовательно $(\vec{k} \vec{h})=0$) получаем 2 линейных уравнения относительно $\vec{h}$ и $\vec{v}$:

$$\frac{u_0^2}{\omega} (\vec{k},\vec{v}) \vec{k}+\frac{1}{4 \pi \rho_0} \vec{H}_0\times(\vec{k}\times \vec{h})-\omega \vec{v}=0$$ (22)

$$\omega \vec{h}+\vec{k}\times(\vec{v}\times\vec{H}_0)=0$$ (23)

Теперь, положим $u=\omega/k$ (впоследствии эта величина очевидно окажется фазовой скоростью получившейся волны). Направим $\vec{k}$ вдоль оси Х. А вектор $\vec{H}_0$, расположим в плоскости ХУ (очевидно, что всегда так можем повернуть систему координат). Распишем также векторные произведения:

$$\frac{u_0^2}{u^2}(\vec{e_1},\vec{v}) \vec{e_1}+\frac{1}{4 \pi \rho_0 u} (\vec{e_1}(\vec{H}_0 \vec{h})-\vec{h}(\vec{H}_0 \vec{e_1}))-\vec{v}=0$$ (24)

$$u \vec{h}+\vec{v}(\vec{H}_0 \vec{e_1})-\vec{H}_0(\vec{v}\vec{e_1})=0$$ (25)

Тогда последние два уравнения можно расписать в координатах (учитывая, что $\vec{k}$ имеет ненулевую X компоненту, $\vec{v}$ - Y,Z компоненты, $\vec{H_{0}}$ - X,Y компоненты, а $\vec{h}$ - Y,Z компоненты (из (20)):

$$\frac{u_0^2}{u^2} v_x+\frac{H_{0y}}{4 \pi \rho_0 u} h_y-v_x=0 \frac{H_{0x}}{4 \pi \rho_0 u} h_y-v_y=0 \frac{H_{0x}}{4 \pi \rho_0 u} h_z-v_z=0$$ (26)

$$u h_y+ v_y H_{0x}=H_{0y} v_x u h_z+ v_z H_{0x}=0$$ (27)

Как легко видеть среди последних пяти уравнений есть два уравнения содержащие только Z-овые проекции векторов $\vec{v}$ и $\vec{h}$ и есть три уравнения содержащие только Y-овые проекции $\vec{h}$ и X-овые и Y-овые проекции $\vec{v}$. Эти две группы уравнений независимы, таким образом можно утверждать, о том, что 2 различных типа волн (проходящих в проводящей жидкости независимо друг от друга). Итак рассмотрим эти 2 типа волн.