next up previous
След.: Альвеновские волны. Выше: Магнитогидродинамические волны. Пред.: Общие уравнения для малых

Плоские монохроматические волны в жидкости.

Систему уравнений (11) - (14) нам и необходимо решить для того, чтобы рассмотреть магнитогидродинамические волны. Естественно решать мы ее будем в упрощенном виде, а именно рассматривая плоские монохроматические волны.

$\displaystyle \delta \rho(\vec{r},t) = \rho  e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}}$   $\displaystyle \delta \vec{H}(\vec{r},t) = \vec{h}   e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}}$   $\displaystyle \delta \vec{v}(\vec{r},t) = \vec{v}   e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}}$ (15)

Здесь, $ \rho, \vec{h}, \vec{v}$ - постоянные величины , являющиеся амплитудами соответствующих колебаний. Теперь, учитывая то, что

$\displaystyle rot(\vec{A} b)=b  rot \vec{A} + \vec{A} \times grad b$   $\displaystyle div(\vec{A} b)=b  div \vec{A} + (\vec{A} grad b)$ (16)

$\displaystyle grad (e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}})=i \vec{k} e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}}$   $\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}} = -i \omega e^{-i\omega t+i\vec{k}\vec{r}}$ (17)

и подстановку (15) система уравнений  (11) - (14), соотвественно,преобразуется в линейную систему для амплитуд волн плотности, магнитного поля и скорости:

$\displaystyle -\omega \rho+\rho_0 (\vec{k},\vec{v})=0$ (18)
$\displaystyle -\omega \vec{v}=-\frac{u_0^2}{\rho_0} \rho \vec{k} -\frac{1}{4 \pi \rho_0} \vec{H}_0\times(\vec{k}\times \vec{h})$ (19)
$\displaystyle (\vec{k} \vec{h})=0$ (20)
$\displaystyle -\omega \vec{h}=\vec{k}\times(\vec{v}\times\vec{H}_0)$ (21)

Наконец, подставляя $ \rho$ из  (18) в уравнение (19), а также учтя то, что уравнение  (20) есть следствие уравнения (21) (из (21) следует, что $ \vec{h}$ ортогонально $ \vec{k}$, а следовательно $ (\vec{k} \vec{h})=0$) получаем 2 линейных уравнения относительно $ \vec{h}$ и $ \vec{v}$:

$\displaystyle \frac{u_0^2}{\omega} (\vec{k},\vec{v}) \vec{k}+\frac{1}{4 \pi \rho_0} \vec{H}_0\times(\vec{k}\times \vec{h})-\omega \vec{v}=0$ (22)
$\displaystyle \omega \vec{h}+\vec{k}\times(\vec{v}\times\vec{H}_0)=0$ (23)

Теперь, положим $ u=\omega/k$ (впоследствии эта величина очевидно окажется фазовой скоростью получившейся волны). Направим $ \vec{k}$ вдоль оси Х. А вектор $ \vec{H}_0$, расположим в плоскости ХУ (очевидно, что всегда так можем повернуть систему координат). Распишем также векторные произведения:

$\displaystyle \frac{u_0^2}{u^2}(\vec{e_1},\vec{v}) \vec{e_1}+\frac{1}{4 \pi \rho_0 u} (\vec{e_1}(\vec{H}_0 \vec{h})-\vec{h}(\vec{H}_0 \vec{e_1}))-\vec{v}=0$ (24)
$\displaystyle u \vec{h}+\vec{v}(\vec{H}_0 \vec{e_1})-\vec{H}_0(\vec{v}\vec{e_1})=0$ (25)

Тогда последние два уравнения можно расписать в координатах (учитывая, что $ \vec{k}$ имеет ненулевую X компоненту, $ \vec{v}$ - Y,Z компоненты, $ \vec{H_{0}}$ - X,Y компоненты, а $ \vec{h}$ - Y,Z компоненты (из (20)):

$\displaystyle \frac{u_0^2}{u^2} v_x+\frac{H_{0y}}{4 \pi \rho_0 u} h_y-v_x=0$   $\displaystyle \frac{H_{0x}}{4 \pi \rho_0 u} h_y-v_y=0$   $\displaystyle \frac{H_{0x}}{4 \pi \rho_0 u} h_z-v_z=0$ (26)
$\displaystyle u h_y+ v_y H_{0x}=H_{0y} v_x$   $\displaystyle u h_z+ v_z H_{0x}=0$ (27)

Как легко видеть среди последних пяти уравнений есть два уравнения содержащие только Z-овые проекции векторов $ \vec{v}$ и $ \vec{h}$ и есть три уравнения содержащие только Y-овые проекции $ \vec{h}$ и X-овые и Y-овые проекции $ \vec{v}$. Эти две группы уравнений независимы, таким образом можно утверждать, о том, что 2 различных типа волн (проходящих в проводящей жидкости независимо друг от друга). Итак рассмотрим эти 2 типа волн.


next up previous
След.: Альвеновские волны. Выше: Магнитогидродинамические волны. Пред.: Общие уравнения для малых
root 2003-04-25