Общие уравнения для малых возмущений в однородной идеальной проводящей жидкости в однородном постоянном магнитном поле.

Для рассмотрения магнитогидродинамической волны в жидкости нам надо рассмотреть малые добавки к стационарным значениям параметров в жидкости, таких как H, $\rho$, $\vec{v}$, p.

$$\vec{H}=\vec{H_0}+\vec{\delta H} p=p_0+\delta p \rho=\rho_0+\delta\rho \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{\delta v }$$ (8)

Причем мы будем рассматривать волны в жидкости при условии отсутствия макроскопических потоков в жидкости. Таким образом стационарное значение значение скорости принято равным нулю $\vec{v}_0=\vec{0}$. Для других параметров будем считать, что

$$\delta\rho\ll\rho_0 \delta \vec{H}\ll \vec{H}_0 \delta p \ll p_0$$ (9)

Макроскопическое поле будем считать однородным, жидкость однородной и идеальной. Для начала, из условия изоэнтропийности и из того, что существует уравнение состояния, которое можно записать в виде $p=p(\rho,s)$, следует что

$$\delta p = \left. \frac{\partial p}{\partial \rho}\right\vert _{s=s_0} \delta\rho u_0^2=\left.\frac{\partial p}{\partial \rho}\right\vert _{s=s_0}$$ (10)

, где $u_0$ обозначает скорость звука.

Учитывая (8) , (9) и то что $\frac{d}{dt}=\frac{\partial}{\partial t} + (\vec{v} \nabla)$ будем иметь, с точностью до членов более высокого порядка малости:

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{d(\delta\rho)}{d t}= \frac{\partial(\delta\rho)}{\partial t} \frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(\vec{\delta v})}{dt}= \frac{\partial(\vec{\delta v})}{\partial t}$$

$$\vec{H}\times rot \vec{H}=\vec{H}_0\times rot \vec{\delta H} rot(\vec{v}\times\vec{H})=rot(\vec{\delta v}\times\vec{H}_0)$$

И тогда уравнения (1), (2),  (6), (7), учитывая (10) запишутся соответственно:

$$\frac{\partial(\delta\rho)}{\partial t}+\rho_0 div(\vec{\delta v})=0$$ (11)

$$\frac{\partial(\vec{\delta v})}{dt}= -\frac{u_0^2}{\rho_0} grad \delta \rho - \frac{1}{4 \pi \rho}\vec{H}_0\times rot \vec{\delta H}$$ (12)

$$div \vec{\delta H}=0$$ (13)

$$\frac{\partial(\vec{\delta H})}{\partial t}=rot(\vec{\delta v}\times\vec{H}_0)$$ (14)