степени, если известны значения полиномов 
и 
степеней
Полиномы Лежандра и сферические функции. Ортогональность сферических функций. Нормирование. Ряд Лапласа. Аналитическое представление функций, заданных на сфере. Функции Лапласа.
Как мы видели, для вычисления сферических функций необходимо пользоваться полиномами и функциями Лежандра, которые входят в аналитический вид сферической функции. Для вычислений значений полиномов, и выполнения ряда аналитических выкладок весьма полезными являются некоторые свойства полиномов, на которых мы здесь остановимся.
Рекуррентная формула позволяет вычислить полином
степени, если известны значения полиномов и степеней
Производящая функция полиномов Лежандра используется в представлении потенциала притяжения рядом по сферическим функциям. Она имеет вид
Ортогональность полиномов Лежандра определяется формулой
где
-- символ Кронекера. Присоединенные функции Лежандра
также обладают свойством ортогональности. Из теории специальных функций
известно, что
Сферические функции также образуют класс ортогональных функций. Докажем
свойство ортогональности сферических функций.
Возьмем две шаровые функции первого рода
и
.
Применим к ним вторую формулу Грина для сферы. Учитывая, что
, формула Грина
принимает вид
Для сферы производная по нормали совпадает с производной по радиус-вектору
, поэтому
Подставляя полученные выражения в формулу (4.5), будем иметь
Поскольку радиус-вектор -- постоянная величина, полученное выражение можно переписать в следующем виде
При 
приведенный интеграл равен нулю, что указывает на
ортогональность сферических функций.
Вернемся теперь к сферическим функциям степени , заданной в общем виде
Функции вида
называются сферическими гармониками. Очевидно, что
,
. Можно показать, что
Все основные выкладки можно найти в учебниках по специальным функциям.
Как мы видели, средние значения квадратов сферических гармоник достаточно
сложно выражаются через постоянные 
и . Однако, каждую из гармоник можно
умножить на постоянные так, чтобы интегралы в формулах (4.9) были равны
единице. Эта операция называется нормировкой. Обозначая чертой сверху нормированные функции,
можно записать
где
-- нормировочный множитель. Выберем его так, чтобы
выполнялись равенства
Обращаясь к формулам (4.9) легко устанавливаем, что
Полученную формулу можно переписать следующим образом
Операции нормировки подвергают не только сферические гармоники, но и полиномы и функции Лежандра. В частности, если нормированная сферическая функция имеет вид
Свойство ортогональности сферических функций делает их незаменимыми для аналитического представления физического поля, рельефа или других величин, заданных в виде карты на сферической поверхности. Сферические функции играют ту же роль, что и тригонометрические для приближенного представления произвольной функции, заданной на отрезке рядом Фурье. Ряд, заданный в виде суммы сферических гармоник, иногда называют рядом Лапласа.
Пусть
-- известная, кусочно-непрерывная функция,
заданная в сферических координатах. Аппроксимацию этой функции зададим в
виде конечного ряда, содержащего 
сферических гармоник
Определим коэффициенты этого разложения так, чтобы функция
аппроксимировала функцию
с
наименьшим среднеквадратическим отклонением
Для определения коэффициентов 
и 
воспользуемся условиями
и , заданные числа. Выполняя дифференцирование,
с учетом (4.13), получим
В полученные выражения нужно подставить вместо
правую часть формулы (4.13), заменив в ней индексы суммирования и на 
и
. Мы получим интегралы вида
Вследствие ортогональности сферических гармоник только те из интегралов отличны от нуля, которые содержат произведения одноименных гармоник с одинаковыми индексами. Выполнив операции, получим
Итак, наилучшая средняя квадратическая аппроксимация функции
заданной на сфере, многочленом, составленным из нормированных
сферических гармоник степени и порядка , имеет вид
где
-- нормированная присоединенная функция
Лежандра.
Специальное исследование показало, что наш ряд при неограниченном увеличении
числа членов при некоторых дополнительных условиях, накладываемых на функцию
, сходится. Однако, исследование скорости этой
сходимости лежит за пределами нашего курса.
Мы уже говорили, что разложения вида (4.17) есть аналог ряда Фурье, в
котором роль тригонометрических функций выполняют сферические функции.
Существует также и аналог интеграла Фурье -- интегральная форма ряда
Лапласа. Для того, чтобы ее получить, подставим в (4.17) постоянные
и ,
которые определятся с помощью интегралов (4.16).
Переменные,
по которым производится интегрирование мы будем помечать штрихом. Таким
образом
Принимая во внимание, что
получим
Для дальнейшего упрощения полученной интегральной формулы воспользуемся так называемой теоремой сложения сферических функций.
Пусть точка 
имеет постоянные координаты, а точка 
принадлежит элементу
поверхности и имеет штрихованные координаты. Обозначим центральное
расстояние между этими двумя точками греческой буквой 
. Тогда теорема
сложения для нормированных сферических функций выглядит так
Теперь формулу (4.18) можно переписать следующим образом
Каждое слагаемое в полученной формуле часто называют функциями Лапласа
