Разделы

• 3.1 Формулы Грина
• 3.2 Гармонические функции
• 3.3 Шаровые функции

Лекция 3. Основные формулы теории потенциала

Интеграл Дирихле, первая, вторая и третья формулы Грина. Гармонические функции и их свойства, теоремы о гармонических функциях. Шаровые и сферические функции. Дифференциальное уравнение для сферических функций и его решение.

В данном разделе перечислим без вывода основные формулы теории потенциала, которые находят применение в теории фигуры Земли. Остановимся лишь на некоторых, наиболее важных теоремах.

Введем векторный оператор набла :

, где -- единичные, взаимно ортогональные вектора. С векторным оператором можно обращаться, как с обыкновенным вектором. Например, скалярное произведение двух операторов набла дает оператор Лапласа: .

Допустим, что в нашем распоряжении имеется некоторая скалярная функция . Тогда

3.1 Формулы Грина

3.1.1 Формула Остроградского

С помощью оператора Лапласа интегрирование по объему можно заменить интегрированием по поверхности. В дальнейшем для обозначения пределов интегрирования мы будем использовать следующий прием. Все двукратные или трехкратные интегралы мы будем изображать однократным интегралом. Под интегралом будем использовать символ () если интегрирование ведется по телу, ограниченному поверхностью , или просто значком , если интегрирование ведется по поверхности . С этими где оговорками формула Остроградского (3.1) принимает вид

(3.1)

3.1.2 Первая формула Грина

Введем обозначение оператора

(3.2)

тогда первая формула Грина примет вид

(3.3)

Интеграл по объему от функции называется интегралом Дирихле:

(3.4)

Очевидно, что в формуле Грина функции и можно менять местами, то есть вместо (3.3) можно написать

(3.5)

3.1.3 Вторая формула Грина

Вычитая левые и правые части формул (3.3) и (3.5), получим вторую формулу Грина

(3.6)

3.1.4 Третья формула Грина

Рассмотрим частный случай, когда , где -- расстояние между двумя точками P(x,y,z) и Первая точка имеет фиксированные координаты, а вторая -- принадлежит телу и имеет текущие координаты, принадлежащие элементу объема. Тогда

Нетрудно убедиться, что для , имеет место равенство . Имеем

Проделаем следующие выкладки

Обратимся снова к второй формуле Грина. Перепишем ее для случая, когда . Возможны три варианта, когда точка лежит вне тела, внутри его и на поверхности, которое ограничивает это тело.

• Точка Р -- внешняя. В этом случае во всем внутреннем пространстве тела, по которому ведется интегрирование, радиус-вектор r не обращается в нуль и . Вторая формула Грина (3.6) принимает вид

  (3.7)

  
  
  Мы получили третью формулу Грина для внешней точки.

• Точка Р -- внутренняя. В одной точке внутреннего пространства радиус-вектор обращается в нуль и функция обращается в бесконечность. Опишем вокруг этой точки сферу с малым радиусом. Интегрирование по телу, ограниченному поверхностью , можно разбить на два этапа: интегрированию по всем точкам тела, исключая малую сферу, содержащую точку , и интегрирование по малому шару, ограниченному малой сферой :
  
  где -- тело с выколотой точкой . Поскольку во всем внутреннем пространстве , то первое слагаемое в правой части полученной формулы обращается в нуль, так как . Займемся вторым слагаемым. Будем считать, что радиус малой сферы настолько мал, что функцию внутри этой сферы -- постоянная величина. Тогда
  

  Воспользуемся формулой Остроградского, в которой положим , тогда вместо интегрирования по объему будем интегрировать по поверхности малой сферы

  

  Отношение есть элементарный телесный угол , под которым "виден" из точки элемент поверхности сферы. Понятно, что, если точка находится внутри этой сферы, то рассматриваемый интеграл будет равен полному телесному углу, по которым видна поверхность сферы изнутри. Очевидно, что он равен , то есть

  

  Перепишем формулу (3.6) в следующем виде

  
  В случае , для внешней точки получим

  (3.8)

  
  

• Точка P лежит на поверхности. Третий случай -- это когда точка не является ни внутренней ни внешней: она лежит на поверхности тела. Можно показать, что в этом случае
  
  noindent поэтому третья формула Грина принимает вид

  (3.9)

  
  

  Формулы (3.7), (3.8) и (3.9) можно записать одной формулой

  (3.10)

  
  

3.2 Гармонические функции

Гармонической функцией координат называется функция, непрерывная вместе со своими первыми и вторыми производными в некоторой области , удовлетворяющая во всех точках этой области уравнению Лапласа .

3.2.1 Свойства гармонических функций

1. Линейная комбинация двух и более гармонических функций есть функция гармоническая.

   Пусть U(x,y,z) и V(x,y,z) -- две гармонические функции, то есть и . Возьмем их линейную комбинацию . Очевидно, что . Поскольку , , то и , что и доказывает наше утверждение.

2. Если -- гармоническая функция, то все ее частные производные гармонические функции. Доказательство основано на взаимной переставимости оператора Лапласа и производных. Пусть
   
   тогда
   

3. Линейное преобразование координат (поворот осей, изменение масштаба) не нарушает свойство гармоничности.

   Пусть -- гармоническая функция. Введем новые координаты

   

   В матричном виде приведенное равенство выглядит следующим образом

   
   или
   

   Подставим в функцию линейные выражения для , , , для чего воспользуемся вторым из приведенных выше равенств, получим V( . Докажем, что если функция гармоническая, то и является гармонической функцией.

   Очевидно, что

   

   Аналогично

   
   

   Запишем полученные равенства в матричной форме

   

   Поскольку оператор Лапласа есть квадрат векторного оператора набла , то

   

   В правой части будем иметь

   

   Поскольку матрицы направляющих косинусов являются ортонормированными, их произведения равны единичной матрице и оператор Лапласа принимает вид

   

   Отсюда следует, что оператор Лапласа является инвариантом по отношению к повороту осей, а при изменении масштаба множителем с изменяется на множитель . Другими словами, если , то .

3.2.2 Теоремы о гармонических функциях

1. Теорема Гаусса: Поток градиента гармонической функции через замкнутую поверхность равен нулю. Потоком называется интеграл по заданной поверхности от нормальной производной функции.

   Пусть -- гармоническая функция. Предположим, что задана замкнутая поверхность S, ограничивающая область, внутри которой эта функция -- гармоническая. Тогда, используя формулу Остроградского (3.1), получим

   

   Но так как функция гармоническая, то , поэтому

   

   В случае, когда -- потенциал притяжения, то справедливо уравнение Пуассона , где -- плотность притягивающих масс. Тогда формула (3.1) приводит к формуле Гаусса.

   (3.11)

   
   

2. Гармоническая функция в замкнутой области D не имеет ни минимума, ни максимума.

   Преположим обратное: внутри области существует точка , в которой гармоническая функция имеет максимум. В малой окрестности этой точки на сфере нормальная производная функции будет отрицательной, тогда , что противоречит теореме Гаусса.

3. textitПотенциал притяжения вне притягивающих масс не может иметь ни минимума, ни максимума; внутри этой области может иметь только максимум.

   Любая область вне притягивающего тела есть область определения гармонической функции, внутри которой, согласно теореме 2, не может иметь ни минимума, ни максимума. Предположим обратное: внутри притягивающего тела существует точка , в которой потенциал притяжения достигает минимума. В этой точке справедливо уравнение Пуассона . По формуле Остроградского будем иметь

   

   Mы пришли к противоречию: вследствие минимума внутри малой сферы, нормальная производная на поверхности этой сферы будет положительной, следовательно и приведенные выше интегралы будут положительны, что противоречит сделанному выше выводу. Таким образом, теорему можно считать доказанной.

4. Теорема Гаусса. Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему из значений этой функции на поверхности.

   Обратимся к третьей формуле Грина, когда точка внутренняя. Для гармонической функции , поэтому на сфере формула (3.8) принимает вид

   
   На поверхности сферы нормальная производная совпадает с производной по радиус-вектору, поэтому
   
   Кроме того, на поверхности сферы , поэтому
   
   но согласно теореме Гаусса о потоке первое слагаемое в полученном выражении равно нулю, то есть
   
   что и требовалось доказать.

3.3 Шаровые функции

Шаровой функцией степени называется гармоническая функция, являющаяся однородным степенным полиномом вида

(3.12)

(3.13)

(3.14)

Функция вида

(3.15)

называется сферической функцией.

Итак, шаровая функция степени имеет вид

(3.16)

Существует и другой класс шаровых функций, который приведем здесь без вывода

(3.17)

где -- та же сферическая функция, которая входит и в формулу (3.16).

Число постоянных шаровой функции степени равно . Убедимся в этом на при мере шаровой функции третьей степени:

Всего однородный полином третьей степени имеет 10 постоянных. Однако не все постоянные независимы. Шаровые функции подчиняются уравнению Лапласа. Выполнив необходимые выкладки, получим

Следовательно, из 10 постоянных 3 линейно связаны уравнением Лапласа. Остается 10-3=7 независимых постоянных.

3.3.1 Дифференциальное уравнение для сферических функций

Поскольку шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа, то есть

Из дифференциальной геометрии известно, что если , , -- обобщенные координаты, то элемент дуги в этой системе координат будет иметь вид

Теперь оператор Лапласа можно определить следующим образом (без вывода)

(3.18)

Определим коэффициенты Ламе для сферической системы координат. В данном случае , , , поэтому

Оператор Лапласа для сферических координат будет выглядеть так

(3.19)

Применим этот оператор к шаровой функции вида Очевидно, что оператор Лапласа для шаровой функции равен нулю, поэтому

Таким образом, дифференциальное уравнение для сферической функции порядка имеет вид

(3.20)

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что дифференциальное уравнение для функции входящую в шаровую функцию второго рода совпадает с уравнением (3.20).

3.3.2 Интегрирование дифференциального уравнения

Заменим переменную на . тогда . Очевидно, что

(3.21)

Будем искать решение этого уравнения в виде . Подставив это выражение в дифференциальное уравнение, будем иметь

Умножив каждый член полученного выражения на и поделив на , получим

Видим, что первые два члена зависят только от , а последний -- только от Для того, чтобы уравнение выполнялось для любых и , необходимо, чтобы эти функции выродились в константы. Например, уравнение будет выполняться, если

(3.22)

Второе уравнение есть уравнение гармонических колебаний

(3.23)

Функция при целочисленных значениях носит название присоединенной (ассоциативной) функции Лежандра. В случае , эти функции становятся степенными полиномами, которые называются полиномами Лежандра. Полагая в уравнении (3.23) , получим дифференциальное уравнение для полиномов Лежандра

(3.24)

В теории специальных функций свойства функций и полиномов Лежандра достаточно хорошо изучены. Приведем лишь некоторые сведения (без вывода), которые могут пригодиться в нашем курсе. Присоединенные функции Лежандра и полиномы Лежандра связаны между собой соотношением

(3.25)

Подводя итог сказанному, выпишем окончательный вид решения дифференциального уравнения для сферических функций

(3.26)

Заметим, что порядок производной в (3.25) не может быть больше степени полинома Лежандра. По этой причине постоянные и называют степенью и порядком сферических функций.