Резюме. Решена задача о влиянии оболочки земного ядра на полярные колебания твердого ядра Земли. Рассматривались две модели оболочки: первая получена на основе внешнего гравитационного поля Земли путем исключения влияния приповерхностных слоев Земли, вторая строилась на основе сейсмических данных о топографии границы ядро-мантия. Получены уточненные (по сравнению с Шлихтером и Буссе) формулы для частоты колебаний и проведены численные расчеты. Оказалось, что выбор модели мало влияет на частоту колебаний (период колебаний Т1= 4 часа 22 минуты 22 секунды, Т2= 4 часа 22 минуты 38 секунд) и значительно влияет на смещение ядра (-0.32 км для первой модели и 0.26 км для второй).

Будем исследовать движение твердого внутреннего ядра Земли вдоль оси вращения в следующей модели. Внутреннее ядро будем считать однородным и сферическим с плотностью _i, массой m_i и радиусом r_i. Оно погружено в однородное жидкое ядро с плотностью _e, массой m_e и ограничено сферической границей радиуса r_e. Будем рассматривать такие медленные движения твердого ядра, что для вычисления распределения давления в жидком ядре в каждый момент времени можно пользоваться уравнением гидростатического равновесия. Ось вращения совместим с осью Oz прямоугольной декартовой системы координат с началом в центре Земли и осями, жестко связанными с ней. Уравнение движения твердого ядра представим в виде:
 

(1)

A) U=U3-U2-U1,

где U3 - гравитационный потенциал всей Земли, известный, например, из спутниковых наблюдений; U2 - потенциал гидростатически уравновешенной Земли; U1 - потенциал изостатически компенсированного рельефа.

Б) Основное влияние на движение ядра оказывают массы, расположенные на границе ядро-мантия. Поэтому можно представить потенциал U силы F1 как потенциал простого слоя, расположенного на границе ядро-мантия с плотностью:

=  ,

где  - скачок плотности на границе ядро-мантия; - коэффициенты разложения по сферическим функциям вариации границы.

В обоих случаях U во внешнем пространстве представляется в виде разложения по шаровым функциям вида:
 

(2)

где а - большая полуось земного эллипсоида, М - масса Земли,  -географическая долгота,  - полярное расстояние, а  и  - коэффициенты Гаусса. Во внутренней области имеем

. (3)

В силу непрерывности U при r = r_e имеют место тождества:

(rⁿP_n^(m)(cos( ))/z=nr^n-2zP_n^(m)(z/r)+r^n-1(1-(z/r)²)P_n^(m)(x)/x| _x=z/r.

Так как исследуется движение твердого ядра вдоль оси Oz, то полагая здесь z=r, найдем

(rⁿP_n^(m)(z/r))/z| _z=r=nz^n-1P_n^(m)(1),

откуда  (5)

F2_z=-(4/3)G_izm_i. (6)

Рассмотрим такие движения внутреннего ядра, при которых можно приближенно считать, что в каждый момент выполнены условия гидростатического равновесия. Начало системы координат в этом случае удобно совместить с центром твердого ядра, находящимся в точке z=-a в старой системе координат. Тогда силовая функция в расчете на единицу массы

U=U1+U2+U,                     (7)

где: U1-силовая функция жидкого шара радиуса | r' -a| c центром в точке z' =a; U2 - силовая функция шара с плотностью _i-_e с центром в точке r' =0 и радиусом r_i .

В этом случаеr' -a=(' cosj' , ' sinj' , z' -a ), откуда

U1= - (2/3) G_e('²+ z'²+a²- 2az').             (8)

Так как _e в нашей модели постоянна, то уравнение гидростатического равновесия p=_e U дает

p=U_e+p₀, (9)

F3_z= - _z' pdV= - pn_z' dS= - _eUn_z' dS+C, (10)

В сферических координатах r', ', ' :

n_z' =cos' , z'_{на поверхности твердого ядра}= r_icos'? ,

dS_{на поверхности твердого ядра}= r_i²sin' ,              (12)
 

cos' sin' d' = 0, cos^2' sin' d' = 2/3, d' = 2 .

-_e(U1+U2)n_z' dS= - (2G/3)_e²(2r_iа)2/3= - 16²G_e²r_i³а/9+C1      (13)

Обозначим через z'  z -координату, через r' - модуль радиус-вектора точки в старой системе координат. Тогда
 

-_eUn_z' dS = - .    (14)

Заметив , что rcos' =z'-a, и учитывая (12), получим

P₁(cos)cos' sin' d' =C2, (15)

²P₂(cos)cos' sin' d' =-4ar_i/3, (16)

³P₃(cos)cos' sin' d' =2a²r_i.   (17)

Подставляя (15)(17) в (14), приходим к следующему выражению:

-_eUn_z'dS=m_i+С3 (18)

F3_z=m_i. (19)

Подставляя (19),(5), и (6) в (1) и учитывая основные действующие силы, получим
 

  (20)

где  , ,

,                                              y=z-z₀.  (21)

Положим, как это принято y=Bcos(t+ ), ,

где B и  - искомые функции, и подставим эти выражения в (20). Требуя обращения в нуль определителя полученной системы, получим систему уравнений для определения искомых функций B и . Проведя переобозначения ,      (22)

z=Bcos(t+)+z₀, (23)

где медленно меняющиеся функции B и  определяются дифференциальными уравнениями:
 

,

, (24)

=t+.

Для количественных оценок были приняты следующие значения постоянных, соответствующих модели стандартной Земли:
a =6.37810⁶м, r_e =3.477410⁶ м, r_i =1.221510⁶м , _e =1210³ кг/м^{3 ,}
 
GM=398 60310⁹м³/с², G=6.674210^-11м³/(кгс²⁾, _e=_i-_e=597 кг/м^3. Было рассмотрено два случая. В случае A коэффициенты получены в результате обработки данных спутниковых наблюдений [1], а в случае Б коэффициенты получены из  по формуле [2]:

^,

где  =4 337 кг/м

, а  взяты из [3].

Коэффициент	А	Б
С10	-0.831106	0.68210-6
С20	-10.68810-6	0.09210-6
С30	2.698106	-0.06410-6
z0	-315.5м	259.29м
	0.00039914c-1	0.00039873с-1
T=2p /	4ч 22м 21с.675	4ч 22м 37с.798

Малая величина постоянной А (А10

F4_z= - 

где _{p -} коэффициент, зависящий от внутреннего строения ядра Земли, то (21) приобретет вид

 

Из сравнения (A) и (Б) можно заключить, что модель внешней оболочки мало влияет на период колебаний внутреннего ядра Земли и лишь влияет на величину смещения положения равновесия внутреннего ядра.

  Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 94-05-16784.

1)A geopotential model from satellite tracking, altimeter and surface gravity data: GEM-T3 // J. Geophys.Res., vol.99, no. B2, pages 2815-2839, february 10, 1994.

2) Дубошин Г.Н. Теория притяжения // Государственное издательство физ.-мат. литературы, с. 260.

3) Казарян С.А. Земное ядро как источник гравитационных аномалий //Труды ГАИШ, том LXY, 1996, с. 86

4) F.H.Busse. On the oscillation of the Earth's Inner Core // J. Geophys. Res., 79, 753,1974.

5) Б.М.Яновский. Земной магнетизм // из-во Ленинградского университета. 1964.

6) L.B.Slichter. The fundamental free mode of the Earth's inner core // Proc. Nat. Acad. Scien.USA,186,1961.

7) H.Lamb. Hydrodynamics 6th ed.. //p 125 , Dover New York , 1945.