Доказательство неинтегрируемости задачи Хилла с использованием функции Мельникова

А. Б. Батхин, С. И. Сумароков

Волгоградский государственный университет, Россия

     Со времен Пуанкаре[1] известно, что наличие грубой гомоклинической кривой периодического движения означает неинтегрируемость гамильтоновой системы. Этот критерий является основой для многочисленных работ, посвященных установлению неинтегрируемости различных динамических систем. Эффективно вычислить расщепление сепаратрисных поверхностей возможно с помощью функции Мельникова [2]. Метод Мельникова представляет собой критерий существования гомоклинических структур в сечении Пуанкаре. В основе этого метода лежит вычисление функции d (t0), которая представляет собой меру расстояния между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями в фазовом пространстве возмущенной системы в некоторый момент времени t0 и определяется как проекция вектора, характеризующего это расстояние, на нормаль к сепаратрисе в системе без возмущения. Если функция Мельникова имеет простые нули, то гамильтонова система обладает свойствами отображения подковы Смейла [3] и не имеет аналитического второго интеграла.
       Численные эксперименты продемонстрировали закономерность функции Мельникова для задачи Хилла при уменьшении постоянной Якоби С. Обнаружен эффект расщепления сепаратрис неустойчивого периодического движения, возникновение гомоклинических траекторий, а также стохастического слоя вблизи сепаратрисы. При дальнейшем уменьшении постоянной Якоби стохастический слой увеличивался и сливался с другими подобными стохастическими слоями.

Список литературы:

1. Poincare H. Les Methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 1-3, Paris, 1892, 1893, 1899.
2. Мельников В.К. Устойчивость центра при периодических по времени возмущений.// Тр. Московского мат. общества. - 1963 - Т.12 - С. 3-52.
3. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points; in Differencial and Combinatorial Topology, S.S. Cairns, ed. (Princeton Univ. Press, Princeton, 1963, - P. 63-80.