Волгоградский государственный
университет, Россия
Со времен Пуанкаре[1] известно, что
наличие грубой гомоклинической кривой
периодического движения означает
неинтегрируемость гамильтоновой системы. Этот
критерий является основой для многочисленных
работ, посвященных установлению
неинтегрируемости различных динамических
систем. Эффективно вычислить расщепление
сепаратрисных поверхностей возможно с помощью
функции Мельникова [2]. Метод Мельникова
представляет собой критерий существования
гомоклинических структур в сечении Пуанкаре. В
основе этого метода лежит вычисление функции d
(t0), которая представляет собой меру расстояния
между устойчивыми и неустойчивыми
многообразиями в фазовом пространстве
возмущенной системы в некоторый момент времени t0
и определяется как проекция вектора,
характеризующего это расстояние, на нормаль к
сепаратрисе в системе без возмущения. Если
функция Мельникова имеет простые нули, то
гамильтонова система обладает свойствами
отображения подковы Смейла [3] и не имеет
аналитического второго интеграла.
Численные эксперименты
продемонстрировали закономерность функции
Мельникова для задачи Хилла при уменьшении
постоянной Якоби С. Обнаружен эффект расщепления
сепаратрис неустойчивого периодического
движения, возникновение гомоклинических
траекторий, а также стохастического слоя вблизи
сепаратрисы. При дальнейшем уменьшении
постоянной Якоби стохастический слой
увеличивался и сливался с другими подобными
стохастическими слоями.
Список литературы:
1. Poincare H. Les Methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 1-3, Paris,
1892, 1893, 1899.
2. Мельников В.К. Устойчивость центра при
периодических по времени возмущений.// Тр.
Московского мат. общества. - 1963 - Т.12 - С. 3-52.
3. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points; in Differencial and Combinatorial
Topology, S.S. Cairns, ed. (Princeton Univ. Press, Princeton, 1963, - P. 63-80.