В монографии [1] А.Винтнер развил
теорию гомографических (и гомотетичных) решений
ньютоновой проблемы многих тел. В соответствии
с его определениями можно утверждать, что
общее решение задачи двух тел является
гомографическим (или гомотетичным) решением. В
задаче трех тел гомографическими решениями
является лагранжев треугольник (при
произвольных значениях масс), а гомотетичными
являются коллинеарные (среди которых имеются
эйлеровы) решения. В связи с этим Винтнер
сформулировал и доказал ряд теорем, выражающих
необходимые и достаточные условия существования
центральных конфигураций и выдвинул гипотезу о
существовании гомографических решений в задаче n
>= 4 тел в барицентрической системе координат.
Согласно его утверждению, в ньютоновой задаче n
>= 4 тел могут существовать гомографические
решения при различных значениях гравитирующих
масс. Мы показали, что при n = 4 [2] существуют
гомографические решения только двух типов: типа
квадратов ( и тогда массы четырех тел
обязательно равны между собой) или типа ромба,
для которого есть жесткая зависимость между
значениями масс и его диагоналями. Других
гомографических решений в задаче n= 4 тел не
существует. Наши вычисления для n>=5 показывают,
что гомографические решения типа правильного
многоугольника могут существовать только при
условии равенства между собой гравитирующих
масс. Из-за сложной нелинейности уравнений
Винтнера ответ на вопрос, какие могут быть
центральные конфигурации при заданных значениях
масс, не решен до сих пор. Наша гипотеза состоит в
том, что кроме гомографических решений типа
правильных многоугольников при n > 5, которые
реализуются только при условии равенства
гравитирующих масс, другие гомографические
решения не существуют. Наши исследования ставят
под сомнение саму гипотезу Винтнера.
Список литературы:
1. Wintner A., The Analitical Foundations of Celestial Mechanics,
-Princeton: Princeton Univ.Press,1941
2. Гребеников Е.А., Земцова Н.И., О существовании
асимметричных решений функциональных уравнений
Лагранжа-Винтнера, - Москва: Паимс, сб.
"Нелинейный анализ и гомографическая
динамика", 1999, с.70-78