Рассматривается плоская
ограниченная круговая задача трех тел: Солнце -
Юпитер -астероид в нерезонансном случае. Задача
описывается системой четырех обыкновенных
дифференциальных уравнений, в следующих
переменных: q (независимая переменная) - долгота
астероида, отсчитываемая от некоторого
постоянного направления, p - орбитальный
параметр, e - эксцентриситет орбиты, G= q-g - истинная
аномалия вдоль орбиты (разность между q и
долготой перигелия орбиты g), L= q-nt - разность между
долготой астероида q и долготой Юпитера,
движущегося равномерно с угловой скоростью n.
Решение ищется в виде двукратных рядов
(полиномов) Фурье по двум фазовым переменным Ф1 и
Ф2, соответствующим двум частотам. В [1] выведены
явные итерационные выражения для коэффициентов
искомых рядов Фурье. Решение построено так, что
мы находим не каждый коэффициент поочередно, а
сразу получаем ряды, также по итерационным
выражениям. Построение решения проводится
методом простых итераций, где каждое последующее
приближение вычисляется только по предыдущему.
Вычисления выполнены в системе символьных
вычислений (ССВ) Maple [2]. Вычисление правых частей
итерационных выражений значительно упростило
применение квазимногомерного алгоритма
быстрого преобразования Фурье, разработанного
авторами в системе Maple. Вообще говоря, длина и
точность коэффициентов получаемых рядов
ограничиваются только мощностью ЭВМ и
располагаемым временем. Нами получены
двукратные полиномы Фурье длиной в тысячу и
более членов. Абсолютная невязка решений пятой и
шестой итераций, составляет 1/10 000 000. Время счета
ЭВМ Pentium 166 составляет 48 часов. Хотя приведенные
результаты достаточно скромны для задач
небесной механики, и это говорит о необходимости
применения более мощных ЭВМ, все же важно
отметить реальную возможность решения подобных
задач современными системами символьных
вычислений.
Список литературы:
1. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов
Ю.А. Введение в резонансную аналитическую
динамику, - Москва: Янус-К, 1999, 302 с.
2. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5.
-М.: Солон, 1998, 399 с.