Волжский гуманитарный институт ВолГУ,
г. Волжский
Переход к переменным действие-угол
в задаче Хилла (предельный случай плоской
круговой ограниченной задачи трсх тел),
описанный в [1], позволяет применить метод рядов
Депри-Хори (см., например,[2, Глава 2.5]) для
получения усредненного гамильтониана в
окрестности резонансного семейства g,
исследованного в статье 3.
Наличие еще одного первого интеграла усредненной
задачи позволило свести проблему поиска
периодического решения исходной задачи к
проблеме поиска стационарного решения "приведенного"
гамильтониана. Методами теории возмущений
удалось получить такие характеристики
периодического решения как частота, начальные
условия резонанса, устойчивость, а также
определить бифуркационное значение параметра
задачи. Эти характеристики согласуются с
полученными ранее и анонсированными, например, в
[3,4] численными результатами.
Наличие усредненного
гамильтониана позволяет получить приближенное
уравнение сепаратрисной поверхности для
гиперболической точки, а это даст возможность
применить метод Мельникова для выяснения
условия расщепления сепаратрис.
Аналогично исследуются и другие
семейства периодических решений задачи Хилла.
Список литературы:
1. Сумароков С.И., Батхин А.Б. Переменные
действие-угол задачи Хилла. Вестник ВолГУ. Серия
1: Математика. Физика, 1999, 4, 131--139.
2. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и
стохастическая механика. М.: "Мир", 1984.
3. Henon M. Numerical Exploration of the Restricted Problem. V. Hill's Case: Periodic
Orbits and their stability. Astron.& Astrophys., 1969, 1, 223--238.