Лекция 9

			Дискретные системы

Такие системы определяются уравнениями
	
Наблюдаемость дискретной системы означает возможность по последовательности наблюдений    определить вектор  
Как и для непрерывной системы, существует теорема, определяющая наблюдаемость дискретной системы. Для наблюдаемости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы ее грамиан
	
был неособенной матрицей.
Достаточность. Запишем очевидные соотношения
	
Умножим приведенное равенство слева на   и просуммируем по индексу k, заменив его на j, от   до   ,
	
Если   – неособенная матрица, то определим  
	
Это решение удовлетворяет исходной системе уравнений. Существование решения и доказывает достаточность.
Необходимость доказывается так же, как и для непрерывной системы, только интегралы, которые встречались в ходе доказательств, нужно заменить на суммы.
Второй критерий наблюдаемости относится к стационарным системам, т.е. к случаю, когда матрицы A и C  со “временем” не изменяются. Итак,
	
Последовательность наблюдений можно представить в виде
	
Для определения  n  компонент неизвестного вектора   необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

был полным и равным нулю.
Если  z  – скалярная величина и “выходная” матрица  H  является вектором–строкой,  то также будут строками. Всего их должно быть  n  – по числу неизвестных составляющих вектора состояния . Таким образом, должно быть  .  Однако ранг матрицы  M  будет равным  n  только в случае, когда все ее собственные числа простые.
Согласно теореме Гамильтона–Кэли, степень матрицы  G,  большая или равная степени минимального многочлена  m, может быть выражена через линейную комбинацию меньших степеней. Поэтому ранг матрицы наблюдаемости не может быть выше ранга блочной матрицы, у которой нижнюю “строку” занимает матрица  где  m  – степень минимального многочлена.
Пример 1
Дана система
	 
Определить
а) наблюдаемость системы;
б)  по трем наблюдениям  
Решение
а)  
Итак, система наблюдаема.
б) 

	
Пример 2
Система – та же, но    Определить наблюдаемость.
В этом случае
	
Система ненаблюдаема (нельзя определить   а    и  наблюдаемы).

			Принцип двойственности

Рассмотрим линейную систему с непрерывным временем
								(А)
Определим сопряженную с (А) систему следующим образом:
							(В)
В сопряженной системе все матрицы транспонированы по отношению к исходной, входная матрица замещается выходной, а выходная – входной. Время обращается вспять.
Запишем теперь грамиан управляемости   и грамиан наблюдаемости   для обеих систем.
Грамиан управляемости системы (А) –
	
грамиан наблюдаемости системы (А) –
	
грамиан управляемости системы (В) –
	
грамиан наблюдаемости системы (В) –
	.
Сравнивая приведенные грамианы между собой, видим, что

Отсюда следует, что
1)	если система наблюдаема, то сопряженная ей система управляема;
2)	если система управляема, то сопряженная ей система наблюдаема.
Эту особенность сопряженных систем подметил Калман. Ему и принадлежит приведенная выше формулировка принципа двойственности.

				Оценивание параметров

	Оценивание параметров при наличии шумов измерения
	Вектор состояния  , содержащий  n  составляющих, превратится в набор параметров, если для линейной системы с непрерывным временем принять   или для системы с дискретным временем –  . Тогда в задаче наблюдения мы будем иметь
	    
                                 или
	
В обоих случаях вектор состояния постоянен:   Переходные матрицы этих систем являются единичными матрицами, ибо
	
Решение задачи определения вектора состояния (задачи наблюдения) сводится к определению параметров системы (вектора параметров).
При непрерывных наблюдениях информация черпается непрерывно на интервале  , ее объем может быть как угодно велик. То же самое и при дискретных наблюдениях: число   “шагов” съема информации может значительно превосходить число неизвестных параметров. В этом случае уместно поставить задачу получения наилучшего в определенном смысле решения, если такое существует.
Сформулируем задачу следующим образом. В случае непрерывных наблюдений имеем непрерывные значения вектора  , осложненные “шумами”. Запишем зависимость наблюденной функции   от x  и помехи   в виде линейной функции

где   – прямоугольная матрица размера (mxn). Функции   и   – векторы   – имеют все признаки случайных функций времени. Математическое ожидание “шума”   будем считать равным нулю.
 Грамиан наблюдаемости и в этом случае позволяет определить вектор состояния. Поскольку переходная матрица единичная, 
								(9.2)
(см. формулу (8.2)).
Здесь решение    отличается от точного, так как наблюдения осложнены шумами. Подставив в (9.2) выражение для   из (8.1), получим
								(9.3)
В случае дискретных наблюдений имеем
									(9.4)
								(9.5)
								(9.6)
Решения (9.2) и  (9.5) являются приблизительными и имеют все свойства случайных чисел. Вектор    называют оценкой решения x.
Определим ковариационную матрицу оценки  .  По определению, ковариационная матрица случайного вектора есть математическое ожидание произведения центрированного случайного вектора   (ошибки оценивания) на транспонированный центрированный вектор   В качестве символа математического ожидания будем использовать выражения в треугольных скобках. Обозначим ковариационную (дисперсионную) матрицу через  
	
Для непрерывных наблюдений получим
	
Выражение в треугольных скобках есть ковариационная матрица шумов наблюдений
	
поэтому ковариационная матрица оценки параметров будет иметь вид
	
Рассмотрим важный для практических приложений частный случай: погрешности наблюдений являются белым шумом
	
Теперь

	
Предлагаем убедиться самостоятельно, что оценка, заданная в виде
						(9.9)
где   – симметричная матрица (mxm), является несмещенной.
Определим ковариационную матрицу оценки    
	
Используя формулу (9.8) для ковариационной матрицы шумов, получим
				            (9.10)
Формула для ковариационной матрицы   существенно упростится, если в качестве весовой матрицы   принять  :
	  			(9.11)
Отсюда
	
Итак, грамиан наблюдаемости при таком выборе весовой матрицы есть матрица, обратная ковариационной матрице погрешности наблюдения. Более того, след ковариационной матрицы погрешностей оценивания (сумма квадратов дисперсий погрешностей) будет минимальным. Доказательство этого утверждения лежит за пределами программы нашего курса.
Оценивание вектора параметров при дискретных наблюдениях принципиально не отличается от изложенного для непрерывного времени. Грамиан в этом случае нужно задавать в виде суммы
	
а оценку    вычислять по формуле аналогичной (9.9)
						(9.12)
Как и для непрерывных наблюдений, в качестве весовой матрицы   нужно принять
									(9.13)
Ковариационная матрица оценки в дискретном варианте будет иметь вид
						(9.14)