Наблюдения и наблюдаемость

					Лекция 8

	Наблюдаемость динамической системы

Вектор состояния динамической системы нередко несет в себе скрытую информацию, подлежащую исследованию. Например, информация о гравитационном поле планеты содержится в возмущениях движения спутников – как естественных, так и искусственных. Вектор состояния связан с параметрами траектории движения динамической системы (орбиты), которые сами по себе представляют научный интерес. Наблюдения, или так называемые траекторные измерения, по сути дела, являются непрямыми (косвенными) измерениями вектора состояния. Примером таких косвенных измерений служат наблюдения за положением астероида на небесной сфере. На фотографической пластинке получают его изображение среди звезд, определяют координаты  α  и  δ. Три таких наблюдения, полученных в моменты времени, когда астероид расположен в точках орбиты, далеко разнесенных друг от друга, позволяют определить 6 элементов орбиты: Ω,  которые можно принять за составляющие вектора состояния. Тогда имеем 6 уравнений
	
Однако, если   достаточно близки и астероид за это время прощел отрезок траектории, близкий к прямой линии, решить приведенные уравнения практически невозможно, так как прямая в пространстве имеет лишь четыре параметра, а элементов орбиты – шесть. Если добавить сюда еще одно наблюдение, оно даст дополнительно линейно-зависимое уравнение. Таким образом, астероид оказывается ненаблюдаемым. Мерой наблюдаемости в таком случае служит якобиан
	
Если  I  =  0, то орбиту определить нельзя: точки расположены на одной прямой. Если  I  существенно отличается от нуля, элементы определяются, однако в том случае, когда  I  отлично от нуля, но остается малым, элементы определяются плохо: небольшие ошибки в исходных данных могут привнести большие ошибки в результат.
Абстрагируемся от конкретной задачи. Допустим, что вектор состояния динамической системы задан уравнением
	
где, как и ранее,  x – n-мерный вектор состояния, а  f – n-мерная вектор-функция. Наблюдения заданы вектор-функцией
	
размерность которой примем равной m.
Система называется наблюдаемой (вполне) на интервале  если между множеством фазовых траекторий  x(t),    и измеряемой функцией  z(t) имеется однозначное соответствие.
Другими словами, если имеются непрерывные наблюдения за изменением функции  z(t)  на интервале  , то для вполне наблюдаемой системы можно определить значения вектора состояния  x(t) в любой момент  t, принадлежащий этому отрезку.
Рассмотрим частный случай:  m=n. Размерность вектора наблюдений совпадает с размерностью вектора состояния. Тогда наблюдаемость эквивалентна разрешимости уравнения
	
Как указывалось ранее, решение может быть получено, если якобиан системы отличен от нуля
	
Это видно из следующих рассуждений. Допустим, что нам удалось каким-то образом подобрать приближенные значения составляющих вектора состояния   для чего запишем уравнение в вариациях
	
где  δz, δx – вектора размерности  n,   – квадратная матрица. Чтобы решить относительно δx  полученную систему линейных уравнений, необходимо, чтобы матрица   была неособенной
										(8.1)
Другими словами, определитель матрицы должен быть отличным от нуля.
На практике, размерность вектора состояния чаще всего больше размерности вектора наблюдений  (n> m). Тогда уравнение  z=φ(x, t)  не имеет однозначного решения. Для обеспечения однозначности нужно принять во внимание и дифференциальное уравнение
  	
Поскольку  z(t) наблюдается непрерывно на отрезке  , то, следовательно, нам известны и производные этого вектора
	
Заменив   на   f(x, t), получим систему уравнений, из которой  следует определить  x(t):

Ответ на  вопрос, является ли система наблюдаемой, снова решается  с помощью якобиана
	
где
	 
Если ранг матрицы   равен  n, то система наблюдаема в точке  t. Поправки к вектору состояния получим из векторно-матричного выражения
	
Эта формула обобщает приведенную выше (8.1).

															Наблюдаемость линейных систем

	Линейная нестационарная система

Рассмотрим линейную нестационарную систему, вектор состояния и вектор наблюдения для которой удовлетворяют уравнениям
	 	
где  x – вектор (nx1),  z – вектор (mx1),  G(t) – квадратная матрица  (nxn),  H – прямоугольная матрица (mxn), причем  .
Запишем решение дифференциального уравнения в виде
		
где   – переходная матрица. Для определения  , очевидно, необходимо иметь начальное условие   Однако именно оно нам и неизвестно. Его предстоит определить из наблюдений
	
Решить это векторно-матричное уравнение прямо нельзя, так как в соответствующей ему системе число уравнений  (m) меньше числа неизвестных  (n). Для однозначного определения   нам необходимо воспользоваться наблюдениями на всем промежутке времени  	
Возьмем какое-нибудь “предварительное” решение . Тогда наблюдения, соответствующие  моменту , будут определяться формулой
									(8.2)
Образуем “невязку” в наблюдениях
	
Мерой невязок на интервале наблюдений   может служить функционал
	
Определим  так, чтобы обеспечить минимальное значение функционалу I:
	
Обозначим
	
Для определения   имеем уравнение

откуда
						(8.3)
Симметричная положительно определенная матрица   называется грамианом наблюдаемости. Отсутствие погрешностей наблюдения обеспечивает тождество
	
Чтобы убедиться в этом, подставим в (8.3)
	.
Получим
	
Теорема. Для наблюдаемости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы грамиан наблюдаемости был неособенной матрицей  
Достаточность доказана нами тем, что вектор состояния системы, вычисленный по формуле (8.3), удовлетворяет наблюдениям на интервале  
Необходимость можно доказать следующим образом. Предположим, что система наблюдаема, т.е. существует единственное решение уравнения
	
Пусть матрица  является особенной, т.е. ее определитель равен нулю. Тогда найдется такой вектор  , что будет выполняться равенство
	 
и кроме того этот вектор будет удовлетворять наблюдениям
										(8.4)
Выполним небольшие выкладки
	.
С учетом формулы (8.4) получим
	
т.е.  для всех   что невозможно. Таким образом, грамиан наблюдаемой системы не может быть особенной матрицей.

Линейная стационарная система

Рассмотрим линейную стационарную систему, для которой выполняются следующие соотношения
	
Размерности векторов и матриц – те же, что и в разделе 2.1, т.е вектор  имеет  m,  а   –  n  компонент.
Дифференцируя  ,  получим
	
Таким образом, для определения    имеем уравнение
								(8.5)
Теорема. Для наблюдаемости стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
	
был равен размерности вектора x:  . Если это условие выполняется, то систему (8.5) можно решить относительно . Матрица  M  называется  матрицей наблюдаемости.
Пример 2
Динамическая система определена уравнениями

Определим наблюдаемость.
Матрица наблюдаемости имеет вид
	
Ранг этой матрицы равен 3, т.е. система наблюдаема. Легко вычислить все компоненты вектора состояния

Не наблюдаемая полностью система может быть наблюдаема частично. Для этого производится декомпозиция – переход к подпространству нового вектора состояния путем линейного преобразования. В этом подпространстве система может оказаться наблюдаемой.
Пример 3
Динамическая система определена уравнениями
	
Запишем эту систему в матричном виде
	
где

Построим матрицу наблюдаемости 

			

	   

			
	 .
Определитель этой матрицы равен нулю, следовательно, система не относится к типу вполне наблюдаемых.
Попытаемся от пространства составляющих вектора состояния  x перейти к пространству вектора состояния   так, чтобы в этом пространстве система оказалась наблюдаемой. Введем новые переменные. Пусть
	
Исключим   (), тогда
	
где
	
Дифференцируя, получим
	
Пусть
	
Наконец, 
	
Система замкнулась. Теперь имеем
	    
	.
Новая система

Матрица наблюдаемости новой системы
	
Это треугольная матрица и при   Система наблюдаема.
Самостоятельно: как изменится наблюдаемая система в результате декомпозиции, если