Лекция 4
Устойчивость стационарных дискретных систем
   
     Дискретная система будет асимптотически устойчивой, если найдётся такое К, что при всех  к>K  решение системы будет мало отличаться от стационарного (установившегося) решения. Другими словами, при  матрица устойчивой системы будет стремится к нуль-матрице. В теории матриц показано, что этому условию лишь те матрицы, у которых все собственные значения меньше единицы.
Пример
      Дана система
                              
При каком значении  система устойчива? Определим сначала собственные значения матрицы системы. Имеем характеристический многочлен  det(  , то есть .  Решая это уравнение, получим  Согласно условию асимптотической устойчивости должно быть <1,  то есть  <1.
     Построим решение этой системы. Поскольку она – стационарная, то 
                   
Вычислим первые несколько степеней матрицы А. Имеем

Полагая , получим
                          
Видим, что модули координат убывают как . Координаты осциллируют: вначале наблюдается “раскачка”, затем, после , огибающая этих координат постепенно убывает. Так, при =0,9, координаты будут отличаться от нуля на 1%  и меньше только для к> 86 . Следовательно, это очень медленно убывающее решение.
Установившееся решение 
     Асимптотически устойчивые дискретные системы имеют установившееся (стационарное) решение, определяемое исключительно сигналом управления u(k). Вернёмся снова к решению стационарной дискретной системы (формула (3.15)):                     .                                         (4.1)

При больших значениях k матрица стремится к нулю, и стационарное решение можно записать в виде  
                                                                                         (4.2)
Приведённая формула показывает, что значения вектора состояния зависят только от вектора управления, предшествующих “текущему” моменту  “к”. Для непрерывных  систем  мы назвали их каузальными. Очевидно, что это же  определение  может быть использовано и для дискретных систем 
     Вектор состояния дискретной линейной системы может быть  определён  двусторонней цифровой сверткой 
                                                                                        (4.3)
Здесь текущее значение вектора состояния определяют и прошлые и будущие значения входного сигнала:     Весовая функция образует так называемое окно, через которое пропускается информация. В задачах сглаживания значения должны быть выбраны так, чтобы постоянные величины проходили через это окно без искажения.  В случае, когда u(k) – cкалярная функция , условие x(k)=u(k) влечёт за собой условие  Например, сглаживание “по тройкам” этому условию удовлетворяет равенство 
   Характеристики дискретной системы
     Для определения какой-либо характеристки системы с непрерывным временем мы пользовались тестовыми функциями, как то: экспоненциальной, для определения передаточной функции, единичной гармоники для определения частотных характеристик, -функции для импульсной характеристики, и единичным скачком – для переходной функции . 
    Передаточную функцию дискретной системы можно определить так же – по экспоненциальной функции. Рассмотрим дискретную систему, у которой вектор состояния x(k) определяется через вектор управления u(k)  дискретной свёрткой
                                                                                       (4.4)
где область определения весовой функции. Возьмём в качестве тесовой функции для u(k)  экспоненциальную функцию тогда 
                           
Обозначим,(4.5)тогда 
Полученная функция W(p) есть не что иное, как передаточная функция дискретной системы.
     Полагая получим амплитудную и фазовую частотные характеристики
                                                                   (4.6)
Заметим, что аргумент р передаточной функции входит лишь в показатель степени экспоненты, поэтому замена р на i приводит к периодическим частотным характеристикам.
                                                              (4.7)
Легко видеть, что период зависимости  от частоты равен =2/T, где Т-шаг квантования отсчётов по времени.
   Пример
     Одноканальная система задана уравнением
                    .
Определить:
1)	решение системы,
2)	весовую и передаточную функции,
3)	частотные характеристики.
Решение. А=,  В=1-.
           
Весовая функция
                 ( по определению)
Передаточная функция
         
Полученное выражение есть не что иное, как геометрическая прогрессия,  сумму которой можно получить в замкнутой форме. Отношение двух рядом стоящих членов прогрессии равно 
        Согласно известным формулам, вычислим сумму бесконечной прогрессии
                            
Частотные характеристики
      Полагая  получим искомые частотные характеристики:

                 

Z-преобразование числовой последовательности           
     Рассмотрим каузальную систему, связывающую скалярный входной сигнал u(k) с выходным сигналам x(k)  соотношением 
                                       .
Передаточная функция такой системы, согласно вышеизложенному, имеет вид
                                                                                     (4.8)
Сравним эту формулу с её аналогом для системы с непрерывным временем, то есть с преобразованием Лапласа
                                          .
 Видим, что в дискретной системе интеграл заменяет сумма, а роль импульсной характеристики играет весовая функция. Таким образом, преобразование весовой функции по формуле (4.8) является дискретным аналогом преобразования Лапласа и может быть названо дискретным преобразованием Лапласа (ДПЛ). 
     Ранее мы видели, что параметр Лапласа p играет ту же роль, что и оператор дифференцирования D. Рассмотри теперь, какое преобразование выполняет оператор . Разложим этот оператор формально в ряд Тейлора по степеням DT:                    , следовательно 
                           
иными словами оператор смещает аргумент функции назад на время, указанное в показателе экспоненциальной функции. Итак, это – оператор сдвига по времени на один шаг. Обозначим его через z, тогда  в качестве передаточной функции дискретной системы примем
                                                                                             (4.9)
В приведённой формуле w(j) – числовая последовательность, а -  Z-преобразование  этой числовой последовательности.  Это преобразование в анализе дискретных систем играет ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем. 
    Итак,  числовая последовательность f (0), f (1),f(2), . . . f (k), . . . имеет образ, являющийся функцией z и называемый Z-преобразованием:
                                                                                                             (4.10)
При этом предполагается, что все члены последовательности с отрицательным аргументом равны нулю.
   Существует прямое и обратное Z-преобразование:

Свойства Z-преобразования.
1). Линейность
         Это свойство не требует доказательства. Оно следует из определений.
2) Смещение аргумента на т тактов назад эквивалентно умножению Z-преобразования на :
     Пусть      Заменим  на . Тогда 
                 
Замена нижнего предела “-т” на 0 оправдана тем, что при отрицательных значениях аргумента функция, образующая последовательность, равна нулю  (из определения Z- преобразования). 
4)	Z-преобразование дискретной свёртки двух последовательностей равно произведению Z- преобразований этих последовательностей.
Рассмотрим две последовательности {h(j)}  и  {g(k)}. Z-преобразование числовой свёртки этих последовательностей имеет вид          
Здесь мы снова воспользовались тем, что g(k)=0 при k<0. Итак, если 
         то            (4.11)
Воспользуемся Z-преобразованием для решения дискретной системы. Пусть , очевидно, что в этом случае справедливо равенство
                                    
где x(k) и u(k) – вектора, а А  и  В – матрицы. Используя свойство линейности, получим                     , или
                                   . 
Решим полученное векторно-матричное равенство относительно 
                                                                                  (4.12)
Полученная формула является точной аналогией операторного представления решения для систем с непрерывным временем. В данном случае передаточной функцией будет
                                                                                        (4.13)
так что                                                                                  (4.14)
     Обратное преобразование даёт решение функцию дискретного времени в виде свёртки  где                               Для практического использования аппарата Z- преобразования существуют специальные таблицы , позволяющие определять прямые и обратные Z- преобразования.
Пример
     Определить Z-преобразование последовательности 
                                          
   Решение : , (геометрическая прогрессия) 
Пример
        Определить Z-преобразование последовательности
                                   {k}=1, 2, 3, . . . k . . .
Решение:   Рассмотрим, сначала, функцию
                                       
Очевидно, что 
   Для определения частотных характеристик достаточно величину  заменить на .Например, передаточная функция дискретной системы          имеет вид 
       а комплексная  амплитудно-фазовая частотная характеристика  -       . Сравнивая полученные формулы с формулами предыдущего раздела, мы видим их полное тождество.