Наблюдение и управление динамическими объектами
                                        Курс лекций (7 семестр)

Лекция 1
Динамическая система как объект управления и наблюдения
    Исследование космического пространства выполняется как с помощью анализа излучений от изучаемых объектов, так и с помощью наблюдений за пробным телом – планетой, спутником планеты, астероидом, космическим аппаратом. В последнем случае искусственное пробное тело может быть управляемым с помощью возбуждения негравитационного внешнего воздействия на пробное тело (тяги). Классическая небесная механика изучает движение небесных тел, совершаемое под действием сил гравитации. На это движение нельзя воздействовать, им нельзя управлять. Современная небесная механика включает в рассмотрение и негравитационные силы. Это торможение в атмосфере и давление света. В задачах астродинамики  рассматриваются также и активные силы, то есть такие силы, которые создаются искусственно для достижения конкретной цели управления и вырабатываются после анализа данных наблюдения, содержащих информацию о состоянии данного пробного тела: его координатах, ориентации, направлении и величине скорости движения, параметрах траектории.
     Управление может быть осуществлено по заранее заданной программе, графику. Например, детально просчитывается режим работы двигателя ракеты-носителя при запуске искусственных спутников Земли (ИСЗ) и выводе их на орбиту. Однако сигнал управления для перехода космического корабля с одной орбиты на другую зависит от параметров (элементов) этих орбит и манёвр выполняется после траекторных измерений (наблюдений). Точно так же выполняется управление при стыковке двух космических объектов, при посадке космического корабля на поверхность планеты или её естественного спутника. Все эти задачи являются предметом изучения астродинамики.
     При астрометричских наблюдениях  с помощью космического телескопа  возникает задача оптимальной процедуры переориентации спутника, на котором установлен астрономический инструмент. В данном случае сочетаются и программное управление, и управление по результатам наблюдения.
     Одним из методов исследования гравитационного поля планеты из космического пространства является метод дифференциальных наблюдений системы «спутник-спутник» с соответствующей корректировкой орбиты по результатам наблюдений. Наконец, движение спутника «свободного от сноса» осуществляется с помощью компенсации негравитационных сил (атмосферного трения) силой тяги, которая, в свою очередь, регулируется на основании показаний бортового акселерометра, то есть на основе наблюдений за негравитационными силами. 
     Приведённый перечень задач, которые могут возникнуть при астродинамических и космических исследованиях и сводятся к задачам управления и наблюдения, далеко не полон. Формулирование конкретных проблем не входит в нашу задачу. Предметом изучения в нашем курсе является алгоритм обработки информации самого общего типа.
     В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:
п-мерный  вектор состояния динамического объекта (системы), то есть перечень его параметров (обобщённых координат), которые полностью   характеризуют положение, движение. Взаимодействие между отдельными частями объекта,
     z(t)-  m- мерный вектор наблюдений, перечень переменных, зависящих от вектора состояния, которые могут быть получены из наблюдений,
     результат обработки наблюдений, приближённое значение вектора состояния,
     и(t) – l – мерный вектор управления динамической системой, зависящий от её состояния в данный момент, 
     q(t) –  вектор внешних помех для динамического объекта,
     r(t) -  вектор погрешностей наблюдения.
     Под динамическим объектом не нужно понимать какое-то определённое космическое тело. Это может быть и просто математическая модель, а под вектором состояния понимается набор разнородных характеристик этой модели.
     Управляемая динамическая система, как правило, описывается системой дифференциальных уравнений
           ,                                   (1)
а наблюдения можно записать так
                                                (2)
     Понятие управление можно понимать расширенно, включая в него любые воздействия на динамическую систему, в том числе и внешнюю помеху q(t). Шумы наблюдений, как правило, входят аддитивно, поэтому вместо (2) следует записать
                                                                                 (3)
     Задача оценивания вектора состояния (приближённое определение по данным наблюдений), то есть решение системы уравнений (3) относительно  даже с привлечением уравнений динамической системы (1) не всегда имеет однозначное решение. Например, наблюдая только лучевые скорости движения искусственного спутника вокруг планеты Марс, мы не можем определить ориентировку его орбиты однозначно. Спутник называется «ненаблюдаемым». Точно так же управлением не всегда достигается желаемое изменение вектора состояния. Теоретическое обоснование критериев наблюдаемости и управляемости является фундаментальной проблемой в теории динамических систем.  
     Линейные динамические системы
     Линейные динамические системы подчиняются линейной системе дифференциальных уравнений. Здесь, как и в дальнейшем, будем пользоваться векторно-матричной формой записи
                                                                                      (4)
где G(t) – известная матрица динамической системы размера пхп, F(t) -прямоугольная входная матрица для сигнала управления размера п х l.
     Векторно-матричное уравнение может быть расписано следующим образом

                        (5)
где -  элементы матриц G   и  F . Если эти коэффициенты – постоянные  величины, то система называется стационарной (инвариантной) , в противном случае – нестационарной.  
     Введём обозначение для оператора дифференцирования     тогда дифференциальное уравнение (4) можно переписать так
                                                                                       (6)
Умножим формально обе части равенства (6) на 
                                                                                            (7)
Полученное «решение» системы дифференциальных уравнений не что иное,  как операторная запись этой системы. Матрицу  можно назвать оператором линейной системы по отношению к входному векторному сигналу . Выходной переменной динамической системы следует считать вектор наблюдений                        ,                                               (8) где H(t) – известная прямоугольная матрица размера (т х п ), которую можно считать выходной матрицей.
 Определим связь между входным сигналом (управлением и) и выходным сигналом (наблюдением z ):
                                                                         (9)
     Для стационарной системы входная и выходная матрицы имеют постоянные элементы. Игнорируя пока шумы наблюдений (r(t)=0), для стационарной системы буем иметь
                                        .                                                   (10)
Матричный  оператор  вида               
                                                ,                                                 (11)
устанавливающий  связь между входным и выходным сигналами, называют
передаточной функцией. Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами.
Пример 1
       Переменные x(t)  и и(t) связаны между собой дифференциальным уравнением третьего порядка
                            
Определить передаточную функцию. 
Решение. Заменим операцию дифференцирования оператором D  и «решим» полученное равенство относительно х 
                    
 Следовательно, искомая передаточная функция имеет вид 
                                    .
Пример 2
     Дифференциальное уравнение, связывающее входную и выходную переменные, указано в Примере 1. Представить уравнение третьего порядка

 системой уравнений первого порядка. Определить матричную передаточную функцию. Рассмотрим два варианта.
Вариант 1
     Введём обозначения 
                                          
Дифференциальное уравнение принимает вид
                                    
Таким образом, имеем систему, состоящую из трёх уравнений первого порядка
                                        
В матричном виде эта система имеет вид          то сеть  Следовательно, оператором системы будет                  
После обращения матрицы, получим
                                  .
Умножим полученное выражение справа на входную матрицу, получим матричную передаточную функцию
                                                  .
Вариант 2
     Запишем наше уравнение в виде
                                                               
Введём обозначения для компонент вектора состояния
                                                     
Далее имеем очевидные преобразования
                                 .  

    Теперь можно записать систему дифференциальных уравнений
                                               
 или в матричном виде  
Передаточная функция этой системы будет иметь вид
                                        или
                                         
Видим, что полученная передаточная функция отличается от той, которую мы
 получили в первом варианте, так как мы изменили обозначения для вектора состояния. Однако, обозначение для  мы сохранили, осталась неизменной и передаточная функция для этой компоненты.
               Структурные схемы и ориентированный граф
     Структурная схема – это чертёж, который позволяет проследить «движение» сигнала. Образец простейшей  структурной схемы показан на рис.1

Передаточная функция W(D)  сама может быть составлена из последовательности передаточных функций
               
                                                    рис 2
Очевидно, что 
                     
Структурная схема, представленная последовательным соединением звеньев называется разомкнутой структурной схемой.
     Управляемые динамические системы, построенные по разомкнутой схеме, - это системы с программным управлением. Результат управления, который можно оценить с помощью наблюдений, в этом случае не учитывается. Системы с замкнутой структурной схемой результат управления учитывают. Их называют системами с обратной связью.
     Простейшая замкнутая структурная схема показана на рис.3

                                    рис.3
Здесь введены ещё два элемента: точка съёма () и точка суммирования . Зачернённый сектор в точке суммирования означает вычитание соответствующего сигнала (у). Из схемы вытекают очевидные  соотношения
                          
  Используя свойства линейных преобразований, получим
                                         
Таким образом, передаточная функция замкнутой системы, которую обозначим через Ф(D), имеет вид
                         
Ориентированный граф – схема, показывающая последовательность преобразования функций, в которой все переменные изображаются точками, а операторы преобразований – стрелками. Ориентированные графы, соответствующие структурным схемам, изображённым на рис.1 и на рис 2, выглядят следующим образом 
                                
                                                    Рис.4
     Построим теперь граф замкнутой системы. Принято сложение или вычитание сигналов изображать так, как показано на рис.5
               
                                                  Рис.5
Граф, соответствующий структурной схеме, изображённой на рис3,  приведён
 на рисунке 6
                                     
                                                    Рис.6
   Если переменные – векторные величины, то система является многоканальной (каждый канал – компонента вектора состояния или вектора управления). Для того, чтобы подчеркнуть это свойство системы, стрелки на структурной схеме изображают двойными, например
                                      
Матричная передаточная функция многоканальной замкнутой системы, как нетрудно проверить, имеет вид
                          Ф(D)=
     где  матричная передаточная функция прямой цепи, передаточная функция обратной связи.